在Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形,它的一條邊在斜邊BC上,如圖所示.
(1)設(shè)AB=a,∠ABC=θ,求Rt△ABC的面積P和正方形的面積Q
(2)當(dāng)θ變化時,求
PQ
的最小值.
分析:(1)設(shè)正方形邊長為x,求出BC=
a
cosθ
,AC=atanθ,x,即可求出三角形ABC的面積P,正方形的面積Q.
(2)利用(1)推出
P
Q
的表達(dá)式,利用函數(shù)的單調(diào)性,求出比值的最小值.
解答:解:(1)設(shè)正方形邊長為x
AB=a,∠ABC=θ
BC=
a
cosθ
,AC=atanθ
BD=xcotθ,EC=xtanθ
BC=
a
cosθ
=BD+DE+EC=x+xcotθ+xtanθ
x=
a
(1+cotθ+tanθ)cosθ
=
asinθ
sinθcosθ+1

三角形ABC的面積P=
1
2
AB×AC=
1
2
a2tanθ
正方形的面積 Q=x2=(
asinθ
sinθcosθ+1
)
2

(2)
P
Q
=
1
2
×
a2tanθ
(
asinθ
sinθcosθ+1
)
2

=
1
2sinθcosθ
+
1
2
sinθcosθ+1
∵sinθ>0,cosθ>0
令:t=sin2θ
∵0<θ<
π
2

∴t∈(0,1]∴
P
Q
=1+
1
t
+
t
4
,函數(shù)在(0,1]遞減
∴ymin=
9
4
(當(dāng)且僅當(dāng)t=1即θ=
π
4
時成立)
∴當(dāng)θ=
π
4
時,
P
Q
的最小值為
9
4
點(diǎn)評:本題考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式,函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查計算能力.
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如圖所示,在Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形,它的一條邊在斜邊BC上,設(shè)AB=a,∠ABC=θ
(1)求△ABC的面積f(θ)與正方形面積g(θ);
(2)當(dāng)θ變化時,求
f(θ)g(θ)
的最小值.

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如圖所示,在Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形,它的一條邊在斜邊BC上,設(shè)AB=a,∠ABC=θ
(1)求△ABC的面積f(θ)與正方形面積g(θ);
(2)當(dāng)θ變化時,求
f(θ)
g(θ)
的最小值.
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如圖所示,在Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形,它的一條邊在斜邊BC上,設(shè)AB=a,∠ABC=θ
(1)求△ABC的面積f(θ)與正方形面積g(θ);
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(1)求△ABC的面積f(θ)與正方形面積g(θ);
(2)當(dāng)θ變化時,求的最小值.

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