Question

如圖，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)和12條棱，每條棱上均有一個(gè)中點(diǎn)，于是有棱的中點(diǎn)12個(gè)，頂點(diǎn)與中點(diǎn)合起來(lái)共有20個(gè)〔圖(1)〕.過(guò)其中的兩點(diǎn)可作一條直線；過(guò)其中不在同一直線上的三點(diǎn)可作一個(gè)平面.現(xiàn)在考慮這些直線與平面的垂直關(guān)系.

(1)試舉出一直線與一平面相互垂直的例子(不少于4例)；

(2)若一直線與一平面相互垂直，我們就說(shuō)這條直線與這個(gè)平面構(gòu)成了一個(gè)“垂直關(guān)系組”，兩個(gè)“垂直關(guān)系組”當(dāng)且僅當(dāng)其中兩條直線和兩個(gè)平面不全同一時(shí)稱為相異的(或不同的).試求與正方體的棱相關(guān)的“垂直關(guān)系組”的個(gè)數(shù).

Answer 1

【探究】 在正方體中，所有的棱都和與它相交的面垂直，利用中點(diǎn)也可產(chǎn)生與棱垂直的面.

(1)例如AB⊥平面BCKJ〔如圖(1)〕；

例如EF⊥平面MPON〔如圖(1)〕；

例如NF⊥平面ADKJ〔如圖(2)〕；

例如IC⊥平面AJL〔如圖(3)〕.

(2)正方體的棱有12條，而每一條棱都與3個(gè)平面垂直，如圖(1)中棱IJ與平面ID、平面NP及平面JC都垂直，所以與正方體的棱相關(guān)的“垂直關(guān)系組”的個(gè)數(shù)是12×3=36.

【規(guī)律總結(jié)】 挖掘正方體本身潛藏的特征，將每一條棱的情況分析清楚，做到不重不漏.