【題目】已知橢圓E:的焦點在軸上，A是E的左頂點，斜率為k （k > 0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA.

（Ⅰ）當t=4，時，求△AMN的面積；

（Ⅱ）當時，求k的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）先求直線的方程，再求點的縱坐標，最后求的面積；（Ⅱ）設，寫出A點坐標，并求直線的方程，將其與橢圓方程組成方程組，消去，用表示，從而表示，同理用表示，再由及t的取值范圍求的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）設，則由題意知，當時，的方程為，.

由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.

將代入得.解得或，所以.

因此的面積 .

（Ⅱ）由題意，，.

將直線的方程代入得.

由得，故.

由題設，直線的方程為，故同理可得，

由得，即.

當時上式不成立，

因此.等價于，

即.由此得，或，解得.

因此的取值范圍是.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)高考實行新方案,規(guī)定:語文、數(shù)學和英語是考生的必考科目,考生還須從物理、化學、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目,若一名學生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目,則稱該學生的選考方案確定;否則,稱該學生選考方案待確定.例如,學生甲選擇“物理、化學和生物”三個選考科目,則學生甲的選考方案確定,“物理、化學和生物”為其選考方案.

某學校為了了解高一年級420名學生選考科目的意向,隨機選取30名學生進行了一次調(diào)查,統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表:

性別

選考方案確定情況

物理

化學

生物

歷史

地理

政治

男生

選考方案確定的有8人

8

8

4

2

1

1

選考方案待確定的有6人

4

3

0

1

0

0

女生

選考方案確定的有10人

8

9

6

3

3

1

選考方案待確定的有6人

5

4

1

0

0

1

（Ⅰ）估計該學校高一年級選考方案確定的學生中選考生物的學生有多少人？

（Ⅱ）假設男生、女生選擇選考科目是相互獨立的.從選考方案確定的8位男生隨機選出1人,從選考方案確定的10位女生中隨機選出1人,試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史科目的概率;

（Ⅲ）從選考方案確定的8名男生隨機選出2名,設隨機變量兩名男生選考方案相同時，兩名男生選考方案不同時，求的分布列及數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓的方程為，圓的方程為，動圓與圓內(nèi)切且與圓外切.

(1)求動圓圓心的軌跡的方程；

(2)已知與為平面內(nèi)的兩個定點，過點的直線與軌跡交于,兩點，求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當時，函數(shù)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.

B.

C.

D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】進入12月以來，某地區(qū)為了防止出現(xiàn)重污染天氣，堅持保民生、保藍天，嚴格落實機動車限行等一系列“管控令”.該地區(qū)交通管理部門為了了解市民對“單雙號限行”的贊同情況，隨機采訪了220名市民，將他們的意見和是否擁有私家車情況進行了統(tǒng)計，得到如下的列聯(lián)表：

贊同限行

不贊同限行

合計

沒有私家車

90

20

110

有私家車

70

40

110

合計

160

60

220

（1）根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“是否贊同限行與是否擁有私家車”有關；

（2）為了了解限行之后是否對交通擁堵、環(huán)境污染起到改善作用，從上述調(diào)查的不贊同限行的人員中按分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機抽出3名進行電話回訪，求3人中至少抽到1名“沒有私家車”人員的概率.

附：.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某高三理科班共有60名同學參加某次考試，從中隨機挑選出5名同學，他們的數(shù)學成績與物理成績如下表：

數(shù)據(jù)表明與之間有較強的線性關系.

（1）求關于的線性回歸方程；

（2）該班一名同學的數(shù)學成績?yōu)?10分，利用（1）中的回歸方程，估計該同學的物理成績；

（3）本次考試中，規(guī)定數(shù)學成績達到125分為優(yōu)秀，物理成績達到100分為優(yōu)秀.若該班數(shù)學優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為和，且除去抽走的5名同學外，剩下的同學中數(shù)學優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的同學共有5人.能否在犯錯誤概率不超過0.01的前提下認為數(shù)學優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關？

參考數(shù)據(jù):回歸直線的系數(shù)，.

，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/span>

（1）一年中有31天的月份的全體；

（2）大于小于12.8的整數(shù)的全體；

（3）梯形的全體構(gòu)成的集合；

（4）所有能被3整除的數(shù)的集合；

（5）方程的解組成的集合；

（6）不等式的解集.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】大連市某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：千元）對年銷售量（單位：）和年利潤（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

46.6

573

6.8

289.8

1.6

215083.4

31280

表中，.

根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

根據(jù)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程；

已知這種產(chǎn)品的年利潤與、的關系為.根據(jù)的結(jié)果回答下列問題：

年宣傳費時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

年宣傳費為何值時，年利潤的預報值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓短軸的兩個端點與點構(gòu)成正三角形.

(1)求橢圓的方程；

(2)若過點的直線與橢圓交于不同的兩點，試問在軸上是否存在定點，使恒為定值？若存在，求出的坐標，并求出這個定值；若不存在，請說明理由.

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