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如圖,在三棱柱中,△是邊長為的等邊三角形,平面,,分別是的中點.

(1)求證:∥平面;

(2)若上的動點,當與平面所成最大角的正切值為時,求平面 與平面所成二面角(銳角)的余弦值.

 

【答案】

(1)對于線面的平行的證明,關鍵是證明. (2)

【解析】

試題分析:(1)證明:取的中點,連接

的中點,

,且.       1分

,且,∴,.        2分

∴四邊形是平行四邊形.  ∴.          3分

平面平面,∴∥平面.       4分

(2)解:∵平面,平面, ∴.

∵△是邊長為的等邊三角形,的中點,∴,.

平面,平面,∴平面.

與平面所成的角.   

,在Rt△中,,

∴當最短時,的值最大,則最大.   

∴當時,最大. 此時,

.∴.

在Rt△中,.

∵Rt△~Rt△

,即.∴.           8分

為原點,與垂直的直線為軸,所在的直線為軸,所在的直線為軸,建立空間直角坐標系.

,,.

,.設平面的法向量為,由,令,則.

∴平面的一個法向量為.       10分

平面, ∴是平面的一個法向量.

.                     11分

∴平面 與平面所成二面角(銳角)的余弦值為.     12分

考點:空間向量法,以及幾何證明

點評:主要是考查了二面角的平面角的求解,以及線面平行的判定,屬于基礎題。

 

練習冊系列答案
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π
3
,E
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π
4
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(本小題滿分12分)如圖,在三棱柱中,,,分別為的中點.

(1)求證:∥平面;  (2)求證:平面

(3)直線與平面所成的角的正弦值.

 

 

 

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