Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=2

3

，∠ABC=

π

3

．
（1）證明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中AB=2，AC=AA₁=2

3

，∠ABC=

π

3

，解三角形可得AB⊥AC，故可以以A為原點，分別以AB、AC、AA₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，分別求出AB與A₁C的方向向量，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，即可得到AB⊥A₁C；
（2）結合（1）的結論，分別求出平面AA₁C與平面A₁CB的法向量，代入向量夾角公式，即可出二面角A-A₁C-B的正弦值．

解答：解：（1）證明：在△ABC中，由正弦定理可求得sin∠ACB=

1

2

?∠ACB=

π

6

∴AB⊥AC
以A為原點，分別以AB、AC、AA₁為
x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖
則A（0，0，0）A1( 0 ， 0 ， 2

3

 )B（2，0，0）C( 0 ， 2

3

 ， 0 )

AB

=( 2 ， 0 ， 0 )

A1C

=( 0 ， 2

3

 ， -2

3

 )

AB

•

A1C

=0?

AB

⊥

A1C

即AB⊥A₁C．
（2）由（1）知

A1B

=( 2 ， 0 ， -2

3

 )
設二面角A-A₁C-B的平面角為α，cosα=cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

2 3

2× 5

=

15

5

∴sinα=

1-cos2α

=

10

5

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，用向量語言表述線線的垂直、平行關系，其中向量法是解答和證明立體幾何平行、垂直關系及夾角常用的方法，建立適當?shù)淖鴺讼担�求出相應直線的方向向量及平面的法向量是解答的關鍵．