Question

如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．

(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；

(2)求平面ADC1與平面ABA1夾角的正弦值．

 

Answer 1

(1)；(2)

【解析】

試題分析：因為直線AB、AC、兩兩垂直，故以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

（1）向量分別為直線A1B與C1D的方向向量，求出的坐標，由空間兩向量夾角公式可得向量夾角的余弦值；

（2）設平面的法向量為，

又，根據(jù)法向量定義求出平面的一個法向量，因為平面，取平面的一個法向量為，先求出與夾角的余弦值，又平面ADC1與平面ABA1夾角與與夾角相等或互補。

試題解析：(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，

，，

，

異面直線與所成角的余弦值為。

（2）設平面的法向量為，

，

，即且，

令，則，是平面的一個法向量，

取平面的一個法向量為，

設平面與平面夾角的大小為，由，

得，故平面與平面夾角的正弦值為。

考點：（1）空間向量的坐標運算；（2）直線方向向量、平面法向量的求法；（3）利用空間向量求線面角、面面角；