Question

設定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx，當時，f（x）取得極大值，并且函數(shù)y=f'（x）的圖象關于y軸對稱．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若曲線C對應的解析式為，求曲線C過點P（2，4）的切線方程；
（3）（實）過點可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f′（x）=3ax²+2bx+c為偶函數(shù)，得到b=0，再由當時，f（x）取得極大值，解得 a=，c=-1，由此能求出f（x）．
（2）=，設切點為（x，y），則y=，由此能求出切線方程．
（3）設切點坐標為（t，），切線方程為：y-=（2t²-1）（x-t），把A（1，m）代入，得=0，由過點可作曲線y=f（x）的三條切線，知=0有三個解，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+c為偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x），
∴3ax²-2bx+c=3ax²+2bx+c，
∴2bx=0得到b=0，
∴f（x）=ax³+cx，
∵當時，f（x）取得極大值，
∴，
∴解得 a=，c=-1，
∴f（x）=-x．
（2）=，
設切點為（x，y），則y=，k=g′（x）|=x，
切線方程為：y-（+）=（x-x），
代入點P（2，4）化簡得：x-3x+4=0，解得x=-1，或x=2，
所以切線方程為：x-y+2=0或4x-y-4=0．
（3）設切點坐標為（t，），
∵f（x）=-x，∴f′（x）=2x²-1，
則切線方程為：y-=（2t²-1）（x-t），
把A（1，m）代入，得m-=（2t²-1）（1-t），
整理，得=0，
∵過點可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴=0有三個解，
記g（t）=，
則g′（t）=4t²-4t，
令g′（t）=4t²-4t=0，得t=0，或t=1，
列表討論，

t	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴當t=0時，g（t）取極大值g（0）=m+1，
當t=1時，g（t）取極小值g（1）=m+，
要使g（t）有三個零點，只需m+1＞0且m+＜0，解得-1＜m＜-．
∴實數(shù)m的取值范圍是（-1，-）．
點評：本題考查函數(shù)表達式的求法，考查切線方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質(zhì)的靈活運用．