一中心在原點,對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓與直線x+y=3相交于A、B兩點,C是AB的中點,若|AB|=2,O是坐標(biāo)原點,OC的斜率是2,求橢圓的方程.
解法一:設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,y0),則mx12+ny12=1,mx22+ny22=1. 兩式相減得m(x1+x2)(x1-x2)+n(y1+y2)(y1-y2)=0, 即2mx0·(x1-x2)+2ny0·(y1-y2)=0, 即mx0+ny0· ∵ 又∵kOC= 將y=3-x代入方程mx2+ny2=1中得(m+n)x2-6nx+9n-1=0. ∵|AB|=2 將同m=2n代入得n= ∴橢圓方程為 分析一:本題既涉及弦長,又涉及弦的中點,所以可以將弦長公式與點差法綜合運用而解決問題. 解法二:設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0),A(x1,3-x1),B(x2,3-x2). 由 ∵|AB|=2 不妨設(shè)x1>x2,則x1-x2=2. 由 又∵A、B在橢圓上,∴ ∴橢圓方程為 分析二:由直線OC與直線AB交于點C而易得出C的坐標(biāo),從而試想以中心C為突破口,求出點A、B的坐標(biāo),從而求出橢圓的方程. |
評注:將橢圓方程設(shè)為mx2+ny2=1,既減少了計算量,又可以避免對焦點位置的討論.在解法二中,充分利用條件,將點的坐標(biāo)用盡可能少的字母來表示. |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年合肥市質(zhì)檢一文)(12分)
已知橢圓C的中心在原點,對稱軸為坐標(biāo)軸,且過、
。
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過的直線
與C交于兩個不同點M、N,求
的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年天津市高三第三次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
.已知雙曲線的中心在原點,對稱軸為坐標(biāo)軸,一條漸近線方程為,右焦點
,雙曲線的實軸為
,
為雙曲線上一點(不同于
),直線
,
分別與直線
交于
兩點
(1)求雙曲線的方程;
(2)是否為定值,若為定值,求出該值;若不為定值,說明理由。
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