Question

已知直線(xiàn)l：y=x+m，m∈R．
（Ⅰ）若以點(diǎn)M（2，0）為圓心的圓與直線(xiàn)l相切于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求該圓的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為l′，問(wèn)直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C：x²=4y是否相切？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）利用待定系數(shù)法求本題中圓的方程是解決本題的關(guān)鍵，利用直線(xiàn)與圓相切的數(shù)學(xué)關(guān)系列出關(guān)于圓的半徑的方程，通過(guò)求解方程確定出所求圓的半徑，進(jìn)而寫(xiě)出所求圓的方程；
（II）設(shè)出直線(xiàn)為l'的方程利用直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系解決該題，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組問(wèn)題，注意體現(xiàn)方程有幾個(gè)解的思想．

解答：解：（I）設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為（x-2）²+y²=r²．由題意，所求圓與直線(xiàn)l：y=x+m相切于點(diǎn)P（0，m），則有

4+m2=r2 |2-0+m| 2 =r

，解得

m=2 r=2 2

，所以圓的方程為（x-2）²+y²=8．
（II）由于直線(xiàn)l的方程為y=x+m，所以直線(xiàn)l'的方程為y=-x-m，由

y=-x-m x2=4y

消去y得到x²+4x+4m=0，△=4²-4×4m=16（1-m）．
①當(dāng)m=1時(shí)，即△=0時(shí)，直線(xiàn)l'與拋物線(xiàn)C：x²=4y相切；
②當(dāng)m≠1時(shí)，即△≠0時(shí)，直線(xiàn)l'與拋物線(xiàn)C：x²=4y不相切．
綜上，當(dāng)m=1時(shí)，直線(xiàn)l'與拋物線(xiàn)C：x²=4y相切；當(dāng)m≠1時(shí)，直線(xiàn)l'與拋物線(xiàn)C：x²=4y不相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查學(xué)生對(duì)直線(xiàn)與圓相切，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切的問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法，考查學(xué)生的方程思想和運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于基本題型．