關(guān)于x的三次函數(shù)y=f（x）的兩個極值點為P、Q，其中P為原點，Q在曲線數(shù)學(xué)公式上，則曲線y=f（x）的切線斜率的最大值的最小值為________．


分析：可以設(shè)f（x）=ax3+bx2+cx+d，根據(jù)已知條件減少未知量，對其進行求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為求f′（x）最大值的表達式，可以利用三角代換，求出a，b關(guān)于θ的表達式，再進行代入求得其最小值；
解答：設(shè)f（x）=ax3+bx2+cx+d，依題意可得，f（0）=0且f′（0）=0，
∴c=d=0，故f（x）=ax3+bx2，
∴f′（x）=3ax2+2bx，由y=1+及點Q在上面，
可設(shè)Q（1+cosθ，1+sinθ），θ∈[0，π]，由Q為一個極值點，
得，
顯然cosθ≠1，θ≠π，
∴1+cosθ=-，
∴，∵a＜0，
∴f′（x）=3ax2+2bx存在最大值：f′（）=f（-）=×
利用數(shù)形結(jié)合可求得：×=×KOQ，
求出直線OQ斜率的最小值即可：可知Q點在（2，1）處斜率最�。篕OQ=，
∴×KOQ=，
曲線y=f（x）的切線斜率的最大值的最小值為，
故答案為：；
點評：此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，比較難想到的是利用三角代換求出函數(shù)f′（x）的最大值表達式，此題計算量比較大，考查了學(xué)生的計算能力；
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求證：無論m取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；
（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對稱．
①求這個二次函數(shù)的解析式；
②已知一次函數(shù)y2=2x-2，證明：在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1≥y2均成立；
（3）在（2）的條件下，若二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（-5，0），且在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1≥y3≥y2均成立．求二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

關(guān)于x的三次函數(shù)y=f（x）的兩個極值點為P、Q，其中P為原點，Q在曲線y=1+
2x-x2
上，則曲線y=f（x）的切線斜率的最大值的最小值為
3
4
3
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)高一（上）摸底數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知關(guān)于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求證：無論m取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；
（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對稱．
①求這個二次函數(shù)的解析式；
②已知一次函數(shù)y2=2x-2，證明：在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1≥y2均成立；
（3）在（2）的條件下，若二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（-5，0），且在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1≥y3≥y2均成立．求二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年遼寧省本溪一中高三（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

關(guān)于x的三次函數(shù)y=f（x）的兩個極值點為P、Q，其中P為原點，Q在曲線上，則曲線y=f（x）的切線斜率的最大值的最小值為    ．

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