Question

已知函數(shù)f（x）=x³-（k²-k+1）x²+5x-2，g（x）=k²x²+kx+1，其中k∈R．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)q(x)=

g(x)，x≥0 f(x)，x＜0.

是否存在k，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x₁，存在惟一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得q′（x₂）=q′（x₁）？若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）因P（x）=f（x）+g（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1，先求導(dǎo)數(shù)：p′（x），因p（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，得到p′（x）=0在（0，3）上有實(shí)數(shù)解，且無重根，再利用分離參數(shù)的方法得出k=-

(3x2-2x+5)

2x+1

=-

3

4

[(2x+1)+

9

2x+1

-

10

3

]，最后再利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的值域即可；
（II）先根據(jù)題意得出當(dāng)k=0時(shí)不合題意，因此k≠0，下面討論k≠0的情形，分類討論：（ⅰ）當(dāng)x₁＞0時(shí)，（ⅱ）當(dāng)x₁＜0時(shí)，最后綜合（�。�（ⅱ）即可得出k值．

解答：解析：（I）因P（x）=f（x）+g（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1，
p′（x）=3x²+2（k-1）x+（k+5），
因p（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，所
以p′（x）=0在（0，3）上有實(shí)數(shù)解，且無重根，
由p′（x）=0得k（2x+1）=-（3x²-2x+5），
∴k=-

(3x2-2x+5)

2x+1

=-

3

4

[(2x+1)+

9

2x+1

-

10

3

]，
令t=2x+1，有t∈（1，7），記h(t)=t+

9

t

，
則h（t）在（1，3]上單調(diào)遞減，在[3，7）上單調(diào)遞增，所
以有h（t）∈[6，10），于是(2x+1)+

9

2x+1

∈[6，10)，
得k∈（-5，-2]，而當(dāng)k=-2時(shí)有p′（x）=0在（0，3）上有兩個(gè)相等的實(shí)根x=1，故舍去，
所以k∈（-5，-2）；
（II）當(dāng)x＜0時(shí)有q′（x）=f′（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5；
當(dāng)x＞0時(shí)有q′（x）=g′（x）=2k²x+k，
因?yàn)楫?dāng)k=0時(shí)不合題意，因此k≠0，
下面討論k≠0的情形，記A=（k，+∞），B=（5，+∞）
（ⅰ）當(dāng)x₁＞0時(shí)，q′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以要使q′（x₂）=q′（x₁）成立，只能x₂＜0且A⊆B，
因此有k≥5，
（ⅱ）當(dāng)x₁＜0時(shí)，q′（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
所以要使q′（x₂）=q′（x₁）成立，只能x₂＞0且A⊆B，
因此k≤5，綜合（�。�（ⅱ）k=5；
當(dāng)k=5時(shí)A=B，則?x₁＜0，q′（x₁）∈B=A，即?x₂＞0，
使得q′（x₂）=q′（x₁）成立，
因?yàn)閝′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以x₂的值是唯一的；
同理，?x₁＜0，即存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），
要使q′（x₂）=q′（x₁）成立，所以k=5滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，同時(shí)考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．