【題目】已知橢圓的離心率為,以橢圓的短軸為直徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設橢圓過右焦點的弦為、過原點的弦為,若,求證:為定值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)證明見解析.
【解析】
試題分析:
(Ⅰ)由題意結合點到直線距離公式可得.結合離心率計算公式有.則橢圓的方程為.
(Ⅱ)對直線的斜率分類討論:當直線的斜率不存在時,.當直線的斜率存在時,設,,,,聯立直線方程與橢圓方程有,由弦長公式可得.聯立直線與橢圓方程,結合弦長公式有.計算可得.據此可得:為定值.
試題解析:
(Ⅰ)依題意,原點到直線的距離為,
則有.
由,得.
∴橢圓的方程為.
(Ⅱ)證明:(1)當直線的斜率不存在時,易求,,
則.
(2)當直線的斜率存在時,
設直線的斜率為,依題意,
則直線的方程為,直線的方程為.
設,,,,
由得,
則,,
.
由整理得,則.
.
∴.
綜合(1)(2),為定值.
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【題目】德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著,以其名命名的函數被稱為狄利克雷函數,其中為實數集,為有理數集,則關于函數有如下四個命題:①;②函數是偶函數;③任取一個不為零的有理數,對任意的恒成立;④存在三個點,,,使得為等邊三角形.其中真命題的個數有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】已知函數g(x)=Acos(ωx+φ)+B的部分圖象如圖所示,將函數g(x)的圖象保持縱坐標不變,橫坐標向右平移個單位長度后得到函數f(x)的圖象.求:
(1)函數f(x)在上的值域;
(2)使f(x)≥2成立的x的取值范圍.
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【題目】如圖是一幾何體的平面展開圖,其中為正方形,分別為的中點,在此幾何體中,給出下面四個結論:①直線與直線異面;②直線與直線異面;③直線平面;④平面平面;其中正確的是_____.
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【題目】如圖,在本市某舊小區(qū)改造工程中,需要在地下鋪設天燃氣管道.已知小區(qū)某處三幢房屋分別位于扇形的三個頂點上,點是弧的中點,現欲在線段上找一處開挖工作坑(不與點,重合),為鋪設三條地下天燃氣管線,,,已知米,,記,該三條地下天燃氣管線的總長度為米.
(1)將表示成的函數,并寫出的范圍;
(2)請確定工作坑的位置,使此處地下天燃氣管線的總長度最小,并求出總長度的最小值.
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【題目】甲同學參加化學競賽初賽,考試分為筆試、口試、實驗三個項目,各單項通過考試的概率依次為、、,筆試、口試、實驗通過考試分別記4分、2分、4分,沒通過的項目記0分,各項成績互不影響.
(Ⅰ)若規(guī)定總分不低于8分即可進入復賽,求甲同學進入復賽的概率;
(Ⅱ)記三個項目中通過考試的個數為,求隨機變量的分布列和數學期望.
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