Question

15．$（2x-1）{（\frac{1}{x}+2x）^6}$的展開式中的常數(shù)項是-160．

Answer 1

分析 求出原式的第二個因式中$\frac{1}{x}$項的系數(shù)，與第一個因式中2x的系數(shù)之積，再加上（$\frac{1}{x}$+2x）⁶的展開式中常數(shù)項與-1的積；即為所求的常數(shù)項．

解答 解：根據(jù)題意，得；
（2x-1）（$\frac{1}{x}$+2x）⁶展開式中的常數(shù)項，
是（$\frac{1}{x}$+2x）⁶的展開式中$\frac{1}{x}$項的系數(shù)與2x的系數(shù)之積，
加上（$\frac{1}{x}$+2x）⁶的展開式中常數(shù)項與-1的積；
又（$\frac{1}{x}$+2x）⁶展開式的通項公式為：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${（\frac{1}{x}）}^{6-r}$•（2x）^r=2^r•${C}_{6}^{r}$•x^2r-6，
令2r-6=-1，解得r=$\frac{5}{2}$，不合題意，舍去；
∴令2r-6=0，解得r=3；
∴T₃₊₁=2³•${C}_{6}^{3}$=160，
∴（2x-1）${（\frac{1}{x}+2x）}^{2}$展開式中的常數(shù)項為-1×160=-160．
故答案為：-160．

點評 本題考查了二項式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用問題，熟練掌握二次項系數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．