Question

已知實(shí)數(shù)x滿足4^x-10•2^x+16≤0，求函數(shù)y=(log3x)2-log3

x

+2的值域．

Answer 1

分析：把“指數(shù)2^x”作為一個(gè)整體，求不等式（2^x）²-10•2^x+16≤0的解集，即可求出log₃x的范圍，利用換元法化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為y=t²-

1

2

t+2，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)利用配方法即可求出函數(shù)的值域．

解答：解：由題意知：4^x-10•2^x+16≤0，解得2≤2^x≤8，
∴1≤x≤3，
∵y=(log3x)2-log3

x

+2=log32x-

1

2

log3x+2，
令t=log₃x，則t∈[0，1]，
∴y=t²-

1

2

t+2=（t-

1

4

）²+

31

16

，t∈[0，1]，
∴當(dāng)t=

1

4

時(shí)，y_min=

31

16

，
當(dāng)t=1時(shí)，y_max=

5

2

，
∴f（x）的值域是 [

31

16

，

5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求指數(shù)型的不等式和對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域，把“對(duì)數(shù)log₃x”作為一個(gè)整體，求它的范圍，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于它的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域，考查了整體思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．