設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x－a|＋b，求證：f(x)為奇函數(shù)的充要條件是a2＋b2＝0.

 

【答案】

證明見(jiàn)試題解析.

【解析】

試題分析：充要條件的證明要分別證明充分性和必要性，.本題充分性是由證明為奇函數(shù)，必要性是由為奇函數(shù)證明.

試題解析：證明充分性：∵a2＋b2＝0，∴a＝b＝0，       2

∴f(x)＝x|x|                  3

∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|，           4

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)        6

必要性：若f(x)為奇函數(shù)，則對(duì)一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立     7

即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立           8

令x＝0，則b＝－b，∴b＝0，            10

令x＝a，則2a|a|＝0，∴a＝0                11

即a2＋b2＝0       12

考點(diǎn)：充要條件

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2002年全國(guó)各省市高考模擬試題匯編 題型：044

設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)(a＞0，且a≠1)，當(dāng)點(diǎn)P(x，y)是函數(shù)y＝f(x)圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q(3x，)是函數(shù)y＝g(x)圖象上的點(diǎn)．

　　

(Ⅰ)寫(xiě)出函數(shù)y＝g(x)的解析式；

(Ⅱ)求不等式g(x)≤f(x)的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：廣州市2008屆高中教材變式題2：二次函數(shù) 題型：022

設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x|＋bx＋c，給出下列4個(gè)命題：

①當(dāng)c＝0時(shí)，y＝f(x)是奇函數(shù)；

②當(dāng)b＝0，c＞0時(shí)，方程f(x)＝0只有一個(gè)實(shí)根；

③y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，c)對(duì)稱；

④方程f(x)＝0至多有兩個(gè)實(shí)根．

上述命題中正確的序號(hào)為_(kāi)_______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：天津市耀華中學(xué)2012屆高三寒假驗(yàn)收考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：013

設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x|＋bx＋c，則下列命題中正確命題的序號(hào)有

①當(dāng)b＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)；

②當(dāng)b＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在R上有最小值；

③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(0，c)對(duì)稱；

④方程f(x)＝0可能有三個(gè)實(shí)數(shù)根．

[　　]

A．①③

B．①④

C．①②④

D．①③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：廣東省云浮羅定中學(xué)2012屆高三11月月考數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

已知二次函數(shù)y＝g(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0，0)、A(m，0)與點(diǎn)P(m＋1，m＋1)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－n)g(x)在x＝a和x＝b處取到極值，其中m＞n＞0，b＜a．

(1)求g(x)的二次項(xiàng)系數(shù)k的值；

(2)比較a，b，m，n的大小(要求按從小到大排列)；

(3)若m＋n≤2，且過(guò)原點(diǎn)存在兩條互相垂直的直線與曲線y＝f(x)均相切，求y＝f(x)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年寧夏高三第五次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f(x)＝，D是由x軸和曲線y＝f(x)及該曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z＝x－2y在D上的最大值為_(kāi)_______．

 

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