Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，∠B=∠C=90°，AB=

2

，CD=

2

2

，BC=1．梯形ABCD（及其內(nèi)部）繞AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)幾何體．
（Ⅰ）求該幾何體的體積V；
（Ⅱ）設(shè)直角梯形ABCD繞底邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)角θ（∠CBC′=θ∈（0，π））至ABC′D′．
①當(dāng)θ=60°時(shí)，求二面角C′-DE-C的正切值大��；
②是否存在θ，使得AD′⊥C′D．若存在，求角θ的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）在直角梯形ABCD作DE⊥AB，則作DE是圓錐的底面半徑，AE是它的高，而B(niǎo)C和CD是圓柱的半徑和母線，根據(jù)題意分別求出并代入椎體和柱體的體積公式，進(jìn)行求和求出旋轉(zhuǎn)體得體積；
（Ⅱ）①取BC，DE的中點(diǎn)分別為F，G，由已知條件推導(dǎo)出∠C′GF是所求二面角的平面角，由此能求出其正切值．
②先假設(shè)存在θ滿足題意，再根據(jù)AD′⊥DC′和余弦定理進(jìn)行求解，求出對(duì)應(yīng)一個(gè)角的余弦值大于0，與線線垂直矛盾，故證出假設(shè)不成立即不存在．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知該幾何體是一個(gè)底面半徑為1高為

2

2

的圓柱體
和底面半徑為1高為

2

2

的圓錐體的組合體，
∴該幾何體的體積V=π×12×

2

2

+

1

3

×π×12×

2

2

=

2

3

2

π．
（Ⅱ）①取BC，DE的中點(diǎn)分別為F，G，
旋轉(zhuǎn)后有AB⊥BC，AB⊥BC′，
∴AB⊥面BCC′，∴C′F⊥AB，
∵θ=60°，BC=BC′，∴C′F=BC，
∴C′F⊥面BCDE，∴DE⊥C′F，∴DE⊥FG，
∴DE⊥面C′FG，∴DE⊥C′G，
∴∠C′GF是所求二面角的平面角，
∴tan∠C1GF=

6

2

，
∴二面角C′-DE-C的正切值大小為

6

2

．
②連C¹E，則C¹E∥AD¹，
在△C¹DE中，C1E=

3 2

，DE=1，C1D=

5 2 -2cosθ

，
若AD¹⊥C¹D，則∠DC¹E=90°，
從而C¹E²+C¹D²=DE²，
解得cosθ=

3

2

，矛盾，
故不存在θ，使得AD′⊥C′D．

點(diǎn)評(píng)：本題是有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的綜合題，需要根據(jù)題意求出幾何體的幾何元素的長(zhǎng)度，再求出它的體積；對(duì)存在性問(wèn)題的處理辦法，一般是先假設(shè)存在再根據(jù)題意列出關(guān)系，證明結(jié)果是否有矛盾即可，考查了分析和解決問(wèn)題的能力．