Question

（1）下面圖形由單位正方形組成，請觀察圖1至圖4的規(guī)律，并依此規(guī)律，在橫線上方處畫出下一個(gè)適當(dāng)?shù)膱D形；

（2）圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形，在如圖所示的四個(gè)三角形中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列的前四項(xiàng)，依此著色方案繼續(xù)對三角形著色，求著色三角形的個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式b_n

（3）依照（1）中規(guī)律，繼續(xù)用單位正方形繪圖，記每個(gè)圖形中單位正方形的個(gè)數(shù)為
a_n（n=1，2，3，…），設(shè)，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（1）在第一個(gè)圖形中，只有一層，一個(gè)小正方形；
在第二個(gè)圖形中，有兩層，從上至下分別為1個(gè)、2個(gè)小正方形；
在第三個(gè)圖形中，有三層，從上至下分別為1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)小正方形；
由此歸納：第四個(gè)圖形中，有四層，從上至下分別為1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)小正方形．
因此答案如右圖所示：
（2）由圖形從左向右數(shù)著色的三角形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)后一個(gè)圖形中的著色三角形個(gè)數(shù)是前一個(gè)的3倍，所以，所以{b_n}構(gòu)成以1為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，由此不難得到{b_n}的通項(xiàng)公式，
∴由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得著色三角形的個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式為：．
（3）由題意，可得a_n=1+2+3+4+…+n=，
∴，
所以 ．①
所以 ．②
①﹣②得 ．
所以﹣2Sn=．即，其中n∈N+