已知函數(shù)f（x）=log2（1+x）+alog2（1-x）（a∈R）．
（1）若f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求a的值；
（2）在（1）下，解關(guān)于x的不等式f-1（x）＞m（m∈R）．

解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（-x）+f（x）=0，
有l(wèi)og2（1-x）+alog2（1+x）+log2（1+x）+alog2（1-x）=0，
化簡(jiǎn)得 （a+1）[log2（1-x）+log2（1+x）]=0
∵log2（1-x）+log2（1+x）不恒為0，
∴a+1=0，即a=-1．
（2）由（1）得則．
∵f -1（x）=1-∈（-1，1）
當(dāng)m≥1時(shí)，不等式f -1（x）＞m 解集為∅
當(dāng)-1＜m＜1時(shí)，解不等式 f-1（x）＞m 有
?1-＞m?2x＞?x＞
解集為
當(dāng)m≤-1時(shí)，不等式f-1（x）＞m對(duì)任意的x都成立，即解集為R
分析：（1）直接利用函數(shù)奇偶性的定義得出f（-x）+f（x）=0，再利用函數(shù)解析式即可求出a值；
（2）由（1）得，根據(jù)反函數(shù)的定義求出其反函數(shù)，再對(duì)m進(jìn)行分類討論，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．
點(diǎn)評(píng)：本題以對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)為例，考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域、反函數(shù)和不等式的解法等等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．本題的綜合性較強(qiáng)，在解題時(shí)注意分類討論與轉(zhuǎn)化化歸思路的適時(shí)恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案