Question

4．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₅=30，a₇+a₉=32．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列，等差中項(xiàng)求的a₈=16，a₃=6，即可求得d，a₁，即可寫出通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先求得{b_n}的通項(xiàng)公式，采用裂項(xiàng)法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₇+a₉=32，即2a₈=32，a₈=16，
S₅=30，$\frac{（{a}_{1}+{a}_{5}）×5}{2}$=30，
∴a₁+a₅=12，2a₃=12，a₃=6，
a₈-a₃=5d=10，
d=2，
∴a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n；
（2）b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），
=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
T_n=$\frac{\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}）^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{2n+1}$．
T_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求等差數(shù)列通項(xiàng)公式，采用裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中占有重要的地位．高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏，屬于中檔題．