Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足：S_n=f（n）=n²+2a|n-2|．
（1）若數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：b_n=2^a_n，記{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n，并求滿足不等式T_n＞2015的最小整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）n=1，a₁=S₁=1+2a．n=2時(shí)，a₁+a₂=4，解得a₂．n≥3時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．再利用數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，即可得出．
（2）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1，2}\\{2n，n≥3}\end{array}\right.$，可得b_n=2^a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1，2}\\{{4}^{n}，n≥3}\end{array}\right.$．n=1時(shí)，T₁=4．n=2時(shí)，T₂=8；n≥3時(shí)，T_n=$\frac{{4}^{n+1}}{3}$-$\frac{40}{3}$．對(duì)n計(jì)算T₅，T₆，即可得出．

解答 解：（1）n=1，a₁=S₁=1+2a．n≥2時(shí)，S_n=n²+2a（n-2），a₁+a₂=4，解得a₂=3-2a．
n≥3時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+2a（n-2）-[（n-1）²+2a（n-3）]=2n-1+2a．
∵數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，∴a₂＞a₁，a₃＞a₂，n≥4時(shí)，a_n＞a_n-1，
聯(lián)立解得：$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$．
（2）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1，2}\\{2n，n≥3}\end{array}\right.$，
∴b_n=2^a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1，2}\\{{4}^{n}，n≥3}\end{array}\right.$．
∴n=1時(shí)，T₁=4．n=2時(shí)，T₂=4+4=8．
n≥3時(shí)，T_n=8+$\frac{64（{4}^{n-2}-1）}{4-1}$=$\frac{{4}^{n+1}}{3}$-$\frac{40}{3}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{4n，n=1，2}\\{\frac{{4}^{n+1}-40}{3}，n≥3}\end{array}\right.$．
T₅=1352，
T₆=5448，因此滿足不等式T_n＞2015的最小值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．