過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)F（2，0）作傾斜角為60°的直線，與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若|BF|=2|AF|，則橢圓的離心率為（　�。�
分析：由直線方程的點(diǎn)斜式，可得直線AB的方程為y=
3
（x-2），與橢圓的方程消去x，得（a2+
1
3
b2）y2+
4
3
3
b2y+4b2-a2b2=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知條件得y1+y2=-
4
3
b2
3a2+b2
=-y1，y1y2=
12b2-3a2b2
3a2+b2
=-2y12，消去y1得關(guān)于a、b的方程，結(jié)合a2=b2+4聯(lián)解，可得a=3，從而得到該橢圓的離心率．
解答：解：∵直線AB經(jīng)過(guò)F（2，0）且傾斜角為60°，
∴AB的斜率k=tan60°=
3
，得直線AB方程為y=
3
（x-2）
將直線AB方程與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1聯(lián)解，消去x得：（a2+
1
3
b2）y2+
4
3
3
b2y+4b2-a2b2=0
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），得y1+y2=-
4
3
b2
3a2+b2
，y1y2=
12b2-3a2b2
3a2+b2

∵|BF|=2|AF|，
∴y1+y2=-y1=
4
3
b2
3a2+b2
，y1y2=-2y12=
12b2-3a2b2
3a2+b2

消去y1，得-2（
4
3
b2
3a2+b2
）2=
12b2-3a2b2
3a2+b2
…（1）
又∵橢圓的焦點(diǎn)F（2，0）
∴a2=b2+4，代入（1）式化簡(jiǎn)整理，得-96b4=-3b4（4b2+12），解之得b2=5
由此可得a2=9，a=3，所以橢圓的離心率e=
c
a
=
2
3

故選：B
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)傾角為60度的弦AB被焦點(diǎn)分成1：2的兩部分，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，|F1F2|=4
2
，離心率e=
2
2
3
．過(guò)直線l：x=
a2
c
上任意一點(diǎn)M，引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．
（1）在圓中有如下結(jié)論：“過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為：x0x+y0y=r2”．由上述結(jié)論類(lèi)比得到：“過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程”（只寫(xiě)類(lèi)比結(jié)論，不必證明）．
（2）利用（1）中的結(jié)論證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（2
2
，0）；
（3）當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求△ABM的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•寧波模擬）已知：圓x2+y2=1過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點(diǎn)記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）求△OAB的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：圓x2+y2=1過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點(diǎn)記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
，
（1）求橢圓的方程；
（2）求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（如圖）過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB；若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”．
（1）求橢圓
x2
5
+y2=1的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo)．
（2）試根據(jù)（1）中的結(jié)論猜測(cè)：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“左特征點(diǎn)”M是一個(gè)怎么樣的點(diǎn)？并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)A做圓x2+y2=b2的切線，切點(diǎn)為B，延長(zhǎng)AB交拋物線于y2=4ax于點(diǎn)C，若點(diǎn)B恰為A、C的中點(diǎn)，則
a
b
的值為
1+
5
2
1+
5
2
．

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