Question

2．曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）在點P（x₀，y₀）處的切線為l．若直線l與x，y軸的交點分別為A，B，則△OAB（其中O為坐標(biāo)原點）的面積為（　�。�

• A． 4+2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 5+2$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)法確定切線方程y-$\frac{1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），從而解出點A，B的坐標(biāo)，從而求面積．

解答 解：∵y=$\frac{1}{x}$，∴y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
故y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$，y′|${\;}_{x={x}_{0}}$=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
故直線l的方程為
y-$\frac{1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
令x=0得，y=2$\frac{1}{{x}_{0}}$，
令y=0得，x=2x₀，
故S=$\frac{1}{2}$•2$\frac{1}{{x}_{0}}$•2x₀=2，
故選C．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義與導(dǎo)數(shù)的計算，屬于中檔題．