已知函數(shù)
(
).
(1)當(dāng)
時,求
的圖象在
處的切線方程;
(2)若函數(shù)
在
上有兩個零點,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若函數(shù)
的圖象與
軸有兩個不同的交點
,且
,求證:
(其中
是
的導(dǎo)函數(shù)).
(1)
;(2)
;(3)證明見解析.
試題分析:解題思路:(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可;(2)利用該區(qū)間上的極值的正負(fù)判斷函數(shù)零點的個數(shù);(3)通過構(gòu)造函數(shù)求最值進行證明.規(guī)律總結(jié):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是常見題型,主要是通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間、求極值、最值以及不等式恒成立等問題,往往計算量較大,思維量大,要求學(xué)生有較高的邏輯推理能力.
試題解析:(1)當(dāng)
時,
,
,切點坐標(biāo)為
,
切線的斜率
,則切線方程為
,即
.
(2)
,則
,
因
,故
時,
.當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
.
所以
在
處取得極大值
.
又
,
,
,則
,
在
上有兩個零點,則
解得
,即實數(shù)
的取值范圍是
.
(3)因為
的圖象與
軸交于兩個不同的點
,
所以方程
的兩個根為
,則
兩式相減得
.又
,
,則
.
下證
(*),即證明
,
,
因為
,∴
,即證明
在
上恒成立.
所以
,又
,∴
,
所以
在
上是增函數(shù),則
,從而知
,
故(*)式成立,即
成立.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知
的圖像過原點,且在點
處的切線與
軸平行,對任意
,都有
.
(1)求函數(shù)
在點
處切線的斜率;
(2)求
的解析式;
(3)設(shè)
,對任意
,都有
.求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
求下列極限:
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
求證:方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一個正根,且它不大于a+b.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè) f′(x) 是f(x)的導(dǎo)函數(shù),f′(x)的圖象如下圖,則f(x)的圖象只可能是 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)
有極大值和極小值,則實數(shù)
的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=5+cosx,且f(0)=0,如果f(1-x)+f(1-x2)<0,則實數(shù)x的取值范圍是________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
函數(shù)
在
處的切線的斜率為
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)
,則下面結(jié)論錯誤的個數(shù)是( 。
(1)
在
處連續(xù) (2)
(3)
(4)
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