【題目】設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點,l是過點A與x軸垂直的直線,D是直線l與x軸的交點,點M在直線l上,且滿足丨DM丨=m丨DA丨(m>0,且m≠1).當點A在圓上運動時,記點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求焦點坐標;
(2)過原點且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點,其中P在第一象限,它在y軸上的射影為點N,直線QN交曲線C于另一點H,是否存在m,使得對任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:如圖1,設M(x,y),A(x0,y0

∵丨DM丨=m丨DA丨,∴x=x0,|y|=m|y0|

∴x0=x,|y0|= |y|①

∵點A在圓上運動,∴

①代入②即得所求曲線C的方程為

∵m∈(0,1)∪(1,+∞),

∴0<m<1時,曲線C是焦點在x軸上的橢圓,兩焦點坐標分別為( ),

m>1時,曲線C是焦點在y軸上的橢圓,兩焦點坐標分別為( ),


(2)解:如圖2、3,x1∈(0,1),設P(x1,y1),H(x2,y2),則Q(﹣x1,﹣y1),N(0,y1),

∵P,H兩點在橢圓C上,∴

①﹣②可得

∵Q,N,H三點共線,∴kQN=kQH,∴

∴kPQkPH=

∵PQ⊥PH,∴kPQkPH=﹣1

∵m>0,∴

故存在 ,使得在其對應的橢圓 上,對任意k>0,都有PQ⊥PH


【解析】(1)設M(x,y),A(x0 , y0),根據(jù)丨DM丨=m丨DA丨,確定坐標之間的關系x0=x,|y0|= |y|,利用點A在圓上運動即得所求曲線C的方程;根據(jù)m∈(0,1)∪(1,+∞),分類討論,可確定焦點坐標;(2)x1∈(0,1),設P(x1 , y1),H(x2 , y2),則Q(﹣x1 , ﹣y1),N(0,y1),利用P,H兩點在橢圓C上,可得 ,從而可得可得 .利用Q,N,H三點共線,及PQ⊥PH,即可求得結論.

練習冊系列答案
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【題目】某蔬菜基地種植西紅柿,由歷年市場行情得知,從二月一日起的300天內(nèi),西紅柿市場銷售價與上市時間的關系用圖(1)的一條折線表示;西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖(2)的拋物線段表示.

(1)寫出圖(1)表示的市場售價與時間的函數(shù)關系式寫出圖(2)表示的種植成本與時間的函數(shù)關系式

(2)認定市場售價減去種植成本為純收益,問何時上市的西紅柿收益最大?(注:市場售價和種植成本的單位:元/kg,時間單位:天.)

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【題目】函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的導函數(shù)y=f′(x)的部分圖象如圖所示,其中,P為圖象與y軸的交點,A,C為圖象與x軸的兩個交點,B為圖象的最低點.
(1)若φ= ,點P的坐標為(0, ),則ω=
(2)若在曲線段 與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點,則該點在△ABC內(nèi)的概率為

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【題目】已知函數(shù)上是增函數(shù),則的取值范圍是( 。

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

若函數(shù)f(x)=log2(x2﹣ax+3a)在[2,+∞)上是增函數(shù),則x2﹣ax+3a>0且f(2)0,根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性,我們可得到關于a的不等式,解不等式即可得到a的取值范圍.

若函數(shù)f(x)=log2(x2﹣ax+3a)在[2,+∞)上是增函數(shù),

則當x∈[2,+∞)時,

x2﹣ax+3a>0且函數(shù)f(x)=x2﹣ax+3a為增函數(shù)

,f(2)=4+a>0

解得﹣4<a≤4

故選:C.

【點睛】

本題考查的知識點是復合函數(shù)的單調(diào)性,二次函數(shù)的性質(zhì),對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其中根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性,構造關于a的不等式,是解答本題的關鍵.

型】單選題
束】
10

【題目】圓錐的高和底面半徑之比,且圓錐的體積,則圓錐的表面積為(  )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知等差數(shù)列{an}前三項的和為﹣3,前三項的積為8.
(1)求等差數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若a2 , a3 , a1成等比數(shù)列,求數(shù)列{|an|}的前n項和.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知f(x)=,x∈(-2,2).

(1) 判斷f(x)的奇偶性并說明理由;

(2) 求證:函數(shù)f(x)在(-2,2)上是增函數(shù);

(3) 若f(2+a)+f(1-2a)>0,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx=x2+2mx+2m+3mR),若關于x的方程fx=0有實數(shù)根,且兩根分別為x1,x2,則(x1+x2x1x2,的最大值為()

A. B. 2C. 3D.

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【題目】關于的不等式,其中為大于0的常數(shù)。

1)若不等式的解集為,求實數(shù)的取值范圍;

2)若不等式的解集為,且中恰好含有一個整數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖所示的長方體中,AB=2 ,AD= , = ,E、F分別為 的中點,則異面直線DE、BF所成角的大小為( )

A.
B.
C.
D.

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