Question

已知圓C經過點M（-2，0），N（2，0），且圓心C在直線y=x上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若過點（2，1）的直線l₁與圓C相切，求直線l₁的方程；
（Ⅲ）若直線l₂：y=kx+3與圓C交于A，B兩點，在圓C上是否存在一點Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

，若存在，求出此時直線l₂的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²．由此能求出圓C的方程．
（Ⅱ）當直線l₁斜率不存在，滿足l₁與圓C有且只有一個公共點；當直線l₁斜率存在時，設l₁：y-1=k₁（x-2），由此求出直線l₁：3x+4y-10=0．
（Ⅲ）假設存在點Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

．由題意知四邊形OAQB為菱形，由此能求出存在點Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

．

解答： （本題滿分14分）
解：（Ⅰ）設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²．
依題意得

(-2-a)2+(0-b)2=r2 (2-a)2+(0-b)2=r2 b=a

，（2分）
解得：a=0，b=0，r=2，
∴圓C的方程為x²+y²=4．（4分）
（Ⅱ）①當直線l₁斜率不存在，即l₁：x=2時，
滿足l₁與圓C有且只有一個公共點．（5分）
②當直線l₁斜率存在時，設l₁：y-1=k₁（x-2），
即k₁x-y-2k₁+1=0，（6分）
∵直線l₁與圓C相切，
∴圓心C（0，0）到直線l₁的距離d等于半徑2，
∴

|-2k1+1|

k12+1

=2，
解得：k1=-

3

4

，（8分）
∴直線l₁：3x+4y-10=0
綜上所述，直線l₁方程為：x=2或3x+4y-10=0．（9分）
（Ⅲ）假設存在點Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

．
因為A，B在圓上，且

OQ

=

OA

+

OB

，
由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形OAQB為菱形，（11分）
所以OQ與AB互相垂直且平分，
所以原點O到直線l：y=kx+3的距離為d=

1

2

|OQ|=1．  （12分）
即 

|3|

1+k2

=1，
解得k²=8，k=±2

2

．
所以存在點Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

．  （14分）

點評：本題考查圓的方程的求法，考查直線方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離的合理運用．