Question

由曲線y=x²和直線y=t²（0＜t＜1），x=1，x=0所圍成的圖形（陰影部分）的面積的最小值是多少？

Answer 1

分析：根據(jù)定積分的幾何意義，陰影部分的面積為y=t²-x²在[0，t]上的積分值，加上y=x²-t²在[t，1]上的積分值所得的和．由積分計(jì)算公式，算出S（t）=

4

3

t3-t2+

1

3

，再通過求導(dǎo)討論S（t）的單調(diào)性，得當(dāng)t=

1

2

時(shí)，S（t）有最小值為

1

4

，即得陰影部分面積的最小值．

解答：解：根據(jù)定積分的幾何意義，陰影部分的面積為
S(t)=

∫

t 0

(t2-x2)dx+

∫

1 t

(x2-t2)dx
=（t²x-

1

3

x³）

|

t 0

+（

1

3

x³-t²x）

|

1 t

=

4

3

t3-t2+

1

3

求導(dǎo)數(shù)，得S'（t）=4t²-2t=4t（t-

1

2

）
令S'（t）=0得t=

1

2

或t=0…（6分）
∵0＜t＜

1

2

時(shí)，S'（t）＜0；

1

2

＜t＜1時(shí)，S'（t）＞0
∴函數(shù)S（t）在(0，

1

2

)上是減函數(shù)；在（

1

2

，1）上是增函數(shù)
因此，當(dāng)t=

1

2

時(shí)，函數(shù)S（t）取極小值，并且這個(gè)極小值也是函數(shù)的最小值．
∴陰影部分的面積S（t）的最小值是S（

1

2

）=

1

4

．

點(diǎn)評：本題給出曲線圍成的圖形，求圖形面積的最小值，著重考查了定積分的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識，屬于中檔題．