Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x|+|x-1|．
（Ⅰ）若f（x）≥|m-1|恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的條件下，正實(shí)數(shù)a，b滿足a²+b²=M，證明：a+b≥2ab．

Answer 1

分析 （ I）求出函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的最小值，通過(guò)|m-1|≤1，求解m的范圍，得到m的最大值M．
（ II）法一：綜合法，利用基本不等式證明即可．
法二：利用分析法，證明不等式成立的充分條件即可．

解答 解：（ I）由已知可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-2x，{\;}x＜0\\ 1，{\;}0≤x＜1\\ 2x-1，{\;}x≥1\end{array}\right.$，
所以f_min（x）=1，…（3分）
所以只需|m-1|≤1，解得-1≤m-1≤1，∴0≤m≤2，
所以實(shí)數(shù)m的最大值M=2…（5分）
（ II）法一：綜合法
∴ab≤1∴$\sqrt{ab}≤1$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，①…（7分）
又∴$\frac{{\sqrt{ab}}}{a+b}≤\frac{1}{2}$∴$\frac{ab}{a+b}≤\frac{{\sqrt{ab}}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，②…（9分）
由①②得，∴$\frac{ab}{a+b}≤\frac{1}{2}$，所以a+b≥2ab…（10分）
法二：分析法因?yàn)閍＞0，b＞0，
所以要證a+b≥2ab，只需證（a+b）²≥4a²b²，
即證a²+b²+2ab≥4a²b²，
，所以只要證2+2ab≥4a²b²，…（7分）
即證2（ab）²-ab-1≤0，
即證（2ab+1）（ab-1）≤0，因?yàn)?ab+1＞0，所以只需證ab≤1，
下證ab≤1，
因?yàn)?=a²+b²≥2ab，所以ab≤1成立，
所以a+b≥2ab…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查分析法與綜合法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．