Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=1，且

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

（n≥2），bn=

2n

an

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

，變形可得2

1

an

=

1

an+1

+

1

an-1

，從而有{

1

an

}是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出

1

an

=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，從而得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法，可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="py53els" class="MathJye">

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

，
所以

1

an

-

1

an-1

=

1

an+1

-

1

an

，即2

1

an

=

1

an+1

+

1

an-1

，
所以{

1

an

}是等差數(shù)列，因?yàn)閍₁=2，a₂=1，
所以該數(shù)列首項(xiàng)為

1

2

，公差也是

1

2

，
所以

1

an

=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，所以an=

2

n

．
（2）由（1）知

1

an

=

n

2

，
所以b_n=n•2^n-1，
∴S_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1
則2S_n=4+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
相減得S_n=n•2ⁿ-（1+2+2²+2³+…+2^n-1）=（n-1）2ⁿ+1
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，正確運(yùn)用錯(cuò)位相減法是關(guān)鍵．