Question

1．如圖所示，平面ABC⊥平面BCDE，BC∥DE，$BC=\frac{1}{2}DE=2$，BE=CD=2，AB⊥BC，AB=3．M，N分別為DE，AD的中點(diǎn)．
（1）證明：平面MNC∥平面ABE；
（2）EC⊥CD，點(diǎn)P為棱AD的三等分點(diǎn)（近A），試求直線(xiàn)MP與平面ABE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)證明四邊形BCME是平行四邊形得出MC∥BE，由中位線(xiàn)定理得出MN∥AE，故而平面MNC∥平面ABE；
（2）由△BED≌△CDE可知∠EBD=90°，由平面ABC⊥平面BCDE，AB⊥BC可得AB⊥平面BCDE，故BA，BE，BD兩兩垂直，以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{MP}$和平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$，設(shè)直線(xiàn)MP與平面ABE所成角為α，則sinα=|cos＜$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{n}$＞|，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出tanα．

解答 證明：（1）∵BC∥EM，BC=$\frac{1}{2}$DE=EM，
∴四邊形BCME是平行四邊形，∴MC∥BE，
又MN是△ADE的中位線(xiàn)，
∴MN∥AE，
∵M(jìn)C∩MN=M，BE∩AE=E，MC，MN?平面MNC，BE，AE?平面ABE，
∴平面MNC∥平面ABE．
（2）∵梯形BCDE是等腰梯形，∴∠BED=∠CDE，
∴△BED≌△CDE，
∴∠EBD=∠DCE=90°，
∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AB⊥BC，
∴AB⊥平面BCDE．
∴BE，BD，BA兩兩垂直．∴BD⊥平面ABE．
∴BD=$\sqrt{D{E}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
以B為原點(diǎn)，以BE，BD，BA為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
則E（2，0，0），D（0，2$\sqrt{3}$，0），A（0，0，3），∴M（1，$\sqrt{3}$，0），P（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）．
∴$\overrightarrow{MP}$=（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2）．
∵BD⊥平面ABE．∴$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）為平面ABE的一個(gè)法向量，
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，|$\overrightarrow{MP}$|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，|$\overrightarrow{n}$|=1．
∴cos＜$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{MP}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{4}$．
設(shè)直線(xiàn)MP與平面ABE所成角為α，則sinα=|cos＜$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{1}{4}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴直線(xiàn)MP與平面ABE所成角的正切值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，線(xiàn)面角的計(jì)算，屬于中檔題．