Question

17．已知函數(shù)f（x）=|3-x|+|x+4|．
（1）解不等式f（x）≥9；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=a（x-4）+1，a∈R，若f（x）＞g（x）對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得函數(shù)f（x）=|3-x|+|x+4|的圖象位于直線g（x）=a（x-4）+1的上方，數(shù)形結(jié)合求得直線g（x）=a（x-4）+1的斜率a滿足a≤2 且a＞-$\frac{3}{4}$，綜合可得a的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|3-x|+|x+4|，由不等式f（x）≥9，可得|x-3|+|x+4|≥9，
故有$\left\{\begin{array}{l}{x＜-4}\\{3-x+（-x-4）≥9}\end{array}\right.$ ①；或$\left\{\begin{array}{l}{-4≤x≤3}\\{3-x+x+4≥9}\end{array}\right.$ ②；或$\left\{\begin{array}{l}{x＞3}\\{x-3+x+4≥9}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-5，解②求得x∈∅，解③求得x≥4．
故原不等式的解集為（-∞，-5]∪[4，+∞）．
（2）∵函數(shù)g（x）=a（x-4）+1，a∈R，若f（x）＞g（x）對任意的x∈R恒成立，
故函數(shù)f（x）=|3-x|+|x+4|的圖象（圖中黑色部分）位于直線g（x）=a（x-4）+1的上方，
如圖所示：
由于直線AB的斜率為$\frac{7-1}{-4-4}$=-$\frac{3}{4}$，函數(shù)f（x）的圖象中以B為端點的射線的斜率為-2，以點C為端點的射線斜率為2，
故直線g（x）=a（x-4）+1的斜率a滿足 a≤2 且a＞-$\frac{3}{4}$，即-$\frac{3}{4}$＜a≤2，
故要求的實數(shù)a的范圍為 $（-\frac{3}{4}，2]$．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．