Question

某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)＝3 700x＋45x²－10x³(單位：萬元)，成本函數(shù)為C(x)＝460x＋5 000(單位：萬元)，又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).

(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；(提示：利潤＝產(chǎn)值－成本)

(2)問年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤最大？

(3)求邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并說明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么？

Answer 1

(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x³＋45x²＋3 240x－5 000(x∈N^*，且1≤x≤20)；

MP(x)＝P(x＋1)－P(x)

＝－30x²＋60x＋3 275 (x∈N^*，且1≤x≤19).

(2)P′(x)＝－30x²＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，

∵x>0，∴P′(x)＝0時(shí)，x＝12，

當(dāng)0<x<12時(shí)，P′(x)>0，

當(dāng)x>12時(shí)，P′(x)<0，

∴x＝12時(shí)，P(x)有極大值，也是最大值.

即年造船量安排12艘時(shí)，可使公司造船的年利潤最大.

(3)MP(x)＝－30x²＋60x＋3 275

＝－30(x－1)²＋3 305.

所以，當(dāng)x≥1時(shí)，MP(x)單調(diào)遞減，

所以單調(diào)減區(qū)間為[1,19]，且x∈N^*.

MP(x)是減函數(shù)的實(shí)際意義是：隨著產(chǎn)量的增加，每艘利潤與前一艘比較，利潤在減少.