Question

設(shè)x₁與x₂分別是實系數(shù)方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一個實數(shù)根，且x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，求證：方程

a

2

x2+bx+c=0有且僅有一個實數(shù)根介于x₁與x₂之間．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先由x₁與x₂分別是實系數(shù)方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一個根，得到關(guān)于x₁與x₂的兩個等式，再設(shè)f（x）=

a

2

x²+bx+c，利用條件推出f（x₁）f（x₂）＜0，即可說明方程

a

2

x²+bx+c=0有一個根介于x₁和x₂之間．

解答： 證明：設(shè)f（x）=

a

2

x2+bx+c，
∵

ax

2 1

+bx1+c=0，-

ax

2 2

+bx2+c=0，
∴

a

2

x

2 1

+bx1+c=-

a

2

x

2 1

，

a

2

x

2 2

+bx2+c=

3a

2

x

2 2

，
∴f(x1)f(x2)=(

a

2

x

2 1

+bx1+c)(

a

2

x

2 2

+bx2+c)=-

a

2

x

2 1

•

3a

2

x

2 2

=-

3a2

4

(x1x2)2．
∵x₁≠x₂，∴a≠0．又x₁≠0，x₂≠0，
∴-

3a2

4

(x1x2)2＜0，即f（x₁）f（x₂）＜0，
故方程f（x）=0在x₁與x₂之間有實數(shù)根．
若在x₁與x₂之間有兩個實數(shù)根，則必有f（x₁）f（x₂）＞0，矛盾，
故方程

a

2

x2+bx+c=0有且僅有一個實數(shù)根介于x₁與x₂之間．

點評：本題考查一元二次方程根的分布問題．在解題過程中用到了零點存在性定理，若想說函數(shù)在某個區(qū)間上有零點，只要區(qū)間兩端點值異號即可．