Question

12．以某市人民廣場(chǎng)的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，x軸指向東，y軸指向北，一個(gè)單位長(zhǎng)度表示實(shí)際路程100m，一人步行從廣場(chǎng)入口處A（2，0）出發(fā)，始終沿一個(gè)方向勻速前進(jìn)，6min時(shí)路過(guò)少年宮C，10min到達(dá)科技館B（-3，5）．
（1）求此人的位移（說(shuō)明此人行走的距離和方向）及此人行走的速度（用坐標(biāo)表示）；
（2）求少年宮C點(diǎn)相對(duì)于廣場(chǎng)中心所在的位置．
（參考數(shù)據(jù)：tan18°26′=$\frac{1}{3}$，tan18°24′=0.3327）

Answer 1

分析 （1）首先由題意畫(huà)出示意圖，求出圖上距離AB；
（2）然后解三角形AOC，利用余弦定理求出OC長(zhǎng)度，在三角形COD中求∠COD的正切即可．

解答 解：（1）由題意如圖，|AB|=$\sqrt{（2+3）^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{2}$，
所以此人行走了500$\sqrt{2}$m，在出發(fā)點(diǎn)的西偏北45°方向，速度是50$\sqrt{2}$m/min；
（2）由（1）可得AC的實(shí)際距離為300$\sqrt{2}$m，圖上距離為3$\sqrt{2}$，
在三角形OAC中，OC²=OA²+AC²-2OA•AC•cos45°=4+18-2×2×3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=10，所以O(shè)C=$\sqrt{10}$；
由AC：AB=CD：BE=3：5，得到CD=3，所以tan∠AOC=-$\frac{CD}{OD}$=-3，所以∠COD=90°-18°26'=71°34'；
所以少年宮C點(diǎn)相對(duì)于廣場(chǎng)中心西偏北71°34'，距離O為100$\sqrt{10}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用；正確畫(huà)出示意圖，利用余弦定理解三角形，求出OC長(zhǎng)度是關(guān)鍵．