Question

8．已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最小值及取得最小值時x的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及輔助角公式將f（x）化簡，根據(jù)周期公式即可求得f（x）的最小正周期；
（2）由x的取值范圍，求得2x-$\frac{π}{3}$的取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)即可求得f（x）的最小值．

解答 解：（1）f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由周期公式T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
函數(shù)f（x）的最小正周期π；
（2）x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
由正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)可知：f（x）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
當2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$時，即x=-$\frac{π}{12}$時，函數(shù)f（x）取最小值，
∴當x=-$\frac{π}{12}$時，函數(shù)f（x）取最小值-1．

點評 本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及最值的求法，考查計算能力，屬于中檔題．