Question

18．在平面內(nèi)，設(shè)三角形ABC的邊長為a，b，c，面積為S，則其內(nèi)切圓半徑r可由關(guān)系式S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r求出，請類比此方法解決下述問題：在空間中，已知四面體ABCD中，AB=8，AC=BC=5，AD=BD=$\sqrt{41}$，CD=4，則此四面體內(nèi)切球（位于四面體內(nèi)且與各面相切的球）的半徑R=$\frac{8}{7}$．

Answer 1

分析 由題意，DC⊥AC，DC⊥BC，利用V=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）R，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，V=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）R，DC⊥AC，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，
分別設(shè)S_△BCD、S_△ACD、S_△ABD、S_△ABC為S₁、S₂、S₃、S₄，則S₁=$\frac{1}{2}×4×5$=10，S₂=$\frac{1}{2}×4×5$=10，S₃=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{41-16}$=10，S₄=$\frac{1}{2}×8×\sqrt{25-16}$=12，
∴由V=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）R，可得$\frac{1}{3}×12×4$=$\frac{1}{3}×（10+10+10+12）R$
∴R=$\frac{8}{7}$．
故答案為：$\frac{8}{7}$．

點(diǎn)評 本題借助于一個平面內(nèi)關(guān)于內(nèi)切圓半徑的正確命題，通過將其推廣到空間的一個結(jié)論，考查了三角形面積公式和錐體體積公式等知識點(diǎn)，屬于中檔題．