已知非零向量
a
，
b
滿足丨
a
-
b
|=|
a
+
b
|=λ|
b
|（λ≥2），則向量
a
+
b
與
b
-
a
的夾角的最小值為
2π
3
2π
3
．
分析：由題意可得
a
⊥
b
，可得|
a
|2+|
b
|2=λ2|
b
|2，而cosθ=
(
a
+
b
)(
b
-
a
)
|
a
+
b
||
b
+
a
|
=
|
b
|2-|
a
|2
λ2|
b
|2
，代入可得關(guān)于λ的式子，由已知的范圍可求得其范圍，進而可得答案．
解答：解：由丨
a
-
b
|=|
a
+
b
|平方可得
a
•
b
=0，
即
a
⊥
b
，由向量的運算法則作出向量圖，
由勾股定理可得|
a
|2+|
b
|2=λ2|
b
|2，
設(shè)向量
a
+
b
與
b
-
a
的夾角為θ，
則cosθ=
(
a
+
b
)(
b
-
a
)
|
a
+
b
||
b
+
a
|
=
|
b
|2-|
a
|2
λ2|
b
|2

=
|
b
|2-(λ2-1)|
b
|2
λ2|
b
|2
=
2-λ2
λ2
=
2
λ2
-1，
∵λ≥2，∴λ2≥4，0＜
1
λ2
≤
1
4
，
∴-1＜
2
λ2
-1≤-
1
2
，即-1＜cosθ≤-
1
2
，
又θ∈[0，π]，所以
2π
3
≤θ≤π，
故向量
a
+
b
與
b
-
a
的夾角的最小值為
2π
3

故答案為：
2π
3
點評：本題考查數(shù)量積表示向量的夾角，涉及向量的模長和三角函數(shù)的取值范圍，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知非零向量
a
、
b
滿足
a
⊥
b
，則
|
a
-2
b
|
|
a
+2
b
|
=（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•大連二模）已知非零向量
a
，
b
滿足|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，則＜
a
，
b
＞=
90°
90°
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•濟南三模）已知非零向量
a
、
b
滿足向量
a
+
b
與向量
a
-
b
的夾角為
π
2
，那么下列結(jié)論中一定成立的是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知非零向量
a
與
b
滿足（
a
+
b
）•（2
a
-
b
）=0，則
|
b
|
|
a
|
的最小值為
1
1
．

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