已知點A（2，1），B（3，2），向量
AD
=（-3，3）．
（1）若四邊形ABCD為平行四邊形，求它的兩條對角線所成的銳角的余弦值；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是直線OB上的一點，當(dāng)
PA
•
PD
取得最小值時，求△PAD的面積．
考點：平面向量數(shù)量積的運算,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示
專題：計算題,平面向量及應(yīng)用
分析：（1）先求D點坐標(biāo)，然后根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，求出C點坐標(biāo)，根據(jù)向量的夾角公求兩條對角線所成的銳角的余弦值；
（2）根據(jù)P是直線OB上的一點，用λ表示出P點坐標(biāo)，
PA
•
PD
就可表示成關(guān)于λ的二次函數(shù)，當(dāng)
PA
•
PD
取得最小值時，求出λ的值，得出P點坐標(biāo)，進(jìn)而求出△PAD的面積．
解答： 解：（1）∵點A（2，1），向量
AD
=（-3，3）
∴D點坐標(biāo)為（-1，4）
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴
AD
=
BC
，
設(shè)C點的坐標(biāo)為（a，b），則
BC
=(a-3，b-2)
∴a-3=-3，b-2=3
解得：a=0，b=5
∴C點坐標(biāo)為（0，5）
∴
AC
=（-2，4），
BD
=（-4，2）
由向量的夾角公式得：cos＜
AC
，
BD
＞=
-2×(-4)+4×2
(-2)2+42
•
(-4)2+22
=
4
5
，
∴兩條對角線所成的銳角的余弦值為
4
5
．
（2）∵P是直線OB上的一點，設(shè)P點的坐標(biāo)為（3λ，2λ）
PA
•
PD
=（2-3λ，1-2λ）•（-1-3λ，4-2λ）
=13λ2-13λ+2
當(dāng)λ=
1
2
時，
PA
•
PD
取得最小值，
∴P點的坐標(biāo)為（
3
2
，1）
∴△PAD的面積為
1
2
×
1
2
×3=
3
4
．
點評：本題考查了向量的運算及函數(shù)的最值問題，研究最值時關(guān)鍵是通過構(gòu)造函數(shù)來解決．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：函數(shù)y=
1
3
x3-
1
2
（m+1）x2+x+m在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；命題q：方程x2-2mx+1=0有實數(shù)根．
（1）若p是真命題，求實數(shù)m的取值范圍； 
（2）若?p為假命題，且p∧q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知
AB
•
AC
=9，sinB=cosAsinC，面積S△ABC=6．
（1）求△ABC的三邊的長a，b，c；
（2）設(shè)P是△ABC（不含邊界）內(nèi)的一點，P到三邊AC、BC、AB的距離分別是x、y、z且
AP
=
AC
|
AC
|
+
AB
|
AB
|
．
①寫出x、y、z所滿足的等量關(guān)系；
②求
2
x
+
1
y
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U=R，集合A={x||x-1|＜6}，B={x|
x-8
2x-1
＞0}
（1）求A∩B；
（2）求（∁UA）∪B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知BC為⊙O的直徑，點A、F在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，BF交AD于E，且AE=BE．
（1）求證：AB=AF；
（2）如果sin∠FBC=
3
5
，AB═4
5
，求AD的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點A（-1，0），B（1，-1）和拋物線C：y2=4x，O為坐標(biāo)原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖
（1）證明：
OM
•
OP
為定值；
（2）若△POM的面積為
5
2
，求向量
OM
與
OP
的夾角；
（3）證明直線PQ恒過一個定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

化簡：（
1
tan
α
2
-tan
α
2
）•
1-cos2α
sin2α
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P．若PB=1，PD=3，則
BC
AD
的值為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

空間直角坐標(biāo)系中，A（1，0，2），B（t，2，-1），則線段AB長度的最小值是
 
．

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同步練習(xí)冊答案