設(shè)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0）、F2（c，0），c＞0，若以F1F2為斜邊的等腰直角三角形F1AF2的直角邊的中點(diǎn)在雙曲線上，則
c
a
等于
 
．
分析：記雙曲線的焦距為2C、依題意知點(diǎn)M在y軸上，M在y軸正半軸上，則可表示出F1和M的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出線段MF1的中點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，化簡整理即可求得e．
解答：解：記雙曲線的焦距為2C、依題意知點(diǎn)M在y軸上，
∴線段MF1的中點(diǎn)坐標(biāo)是（-
c
2
，
c
2
）．
又∵線段MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，
∴
(-
c
2
)2
a2
-
(
c
2
)2
b2
=1，即
c2
a2
-
c2
b2
=4，
c2
a2
-
c2
c2-a2
=4，（e2）2-6e2+4=0，e2=3±
5
．又e2＞1，
∴e2=3+
5

∵（
10
+
2
2
）2=3+
5
，
∴e=
10
+
2
2
．
故答案為
10
+
2
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與雙曲線的關(guān)系以及求離心率的問題．考查了學(xué)生的綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線與拋物線y=x2+1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　�。�
A、
5
4
B、5
C、
5
2
D、
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的離心率e=
2
3
3
，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為
3
2
．
（1）求雙曲線方程；
（2）直線y=kx+5（k≠0）與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)C、D，且C、D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上，求k值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2是離心率為
5
的雙曲線
x2
a2
-
y 2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）且|PF1|=λ|PF2|則λ的值為（　�。�
A、2
B、
1
2
C、3
D、
1
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的虛軸長為2，焦距為2
5
，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的虛軸長為2，焦距為2
3
，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

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