Question

11．已知y=f（x）為定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，y=f′（x）是其導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意x∈R的總有$\frac{f（x-1）}{f′（x-1）}$＜x，則下列大小關(guān)系一定正確的是（　�。�

• A． $\frac{f（e）}{e+1}$＞$\frac{f（π）}{π+1}$
• B． $\frac{f（e）}{e+1}$＜$\frac{f（π）}{π+1}$
• C． $\frac{f（e）}{e+2}$＞$\frac{f（π）}{π+2}$
• D． $\frac{f（e）}{e+2}$＜$\frac{f（π）}{π+2}$

Answer 1

分析 函數(shù)單調(diào)遞增，f′（x）＞0，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則f′（x-1）=f′（x）＞0，由$\frac{f（x-1）}{f′（x-1）}$＜x，整理得：$\frac{f（x-1）-xf′（x-1）}{f′（x-1）}$＜0，可以得到f（x-1）-xf′（x-1）＜0，構(gòu)造輔助函數(shù)，g（x）=$\frac{f（x-1）}{x}$，x≠0求導(dǎo)，根據(jù)上式可知g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，以此可以判斷$\frac{f（e）}{f（e+1）}$＜$\frac{f（π）}{f（π+1）}$．

解答 解：y=f（x）為定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴，y=f′（x）＞0，
$\frac{f（x-1）}{f′（x-1）}$＜x，即$\frac{f（x-1）}{f′（x-1）}$-x＜0，
整理得：$\frac{f（x-1）-xf′（x-1）}{f′（x-1）}$＜0，
由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知：f′（x-1）=f′（x）＞0，
∴f（x-1）-xf′（x-1）＜0，
設(shè)g（x）=$\frac{f（x-1）}{x}$，x≠0，
g′（x）=$\frac{xf′（x-1）-f（x-1）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x-1）-f（x-1）＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）單調(diào)遞增，
∵e+1＜π+1，
∴$\frac{f（e）}{f（e+1）}$＜$\frac{f（π）}{f（π+1）}$，
故答案選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)，涉及了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)以及構(gòu)造函數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題．