【題目】橢圓的左、右焦點為，離心率為，已知過軸上一點作一條直線：，交橢圓于兩點，且的周長最大值為8.

（1）求橢圓方程；

（2）以點為圓心，半徑為的圓的方程為.過的中點作圓的切線，為切點，連接，證明：當取最大值時，點在短軸上（不包括短軸端點及原點）.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）利用三角形的周長的最大值結合橢圓的定義，求出a，利用離心率求解c，然后求出b，即可得到橢圓方程．

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，利用韋達定理，結合△＞0得m2＜4k2+2，求出C的坐標，求出|NC|，|NE|，利用函數(shù)的導數(shù)求出最大值，推出m的范圍．

解：（1）由題意得，

∴

∵，∴，∴，

∴所求橢圓方程為.

（2）設，聯(lián)立得，

由得（*），且，∴

∴

∵以點為圓心，為半徑的圓的方程為，∴，

∴，整理得

∵，∴

令，

∴，∴

令，則，

∴在上單調遞增，∴，當且僅當時等號成立，

此時取得最大值，且，

∴，∴且，

∴點在短軸上（不包括短軸端點及原點）.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（且），定義域均為．

（1）若當時，的最小值與的最小值的和為，求實數(shù)的值；

（2）設函數(shù)，定義域為．

①若，求實數(shù)的值；

②設函數(shù)，定義域為．若對于任意的，總能找到一個實數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)的圖象，向右平移個單位長度，再把縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）

A. 函數(shù)的最小正周期為 B. 函數(shù)在區(qū)間上單調遞增

C. 函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 D. 是函數(shù)的一條對稱軸

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的有( )

(1)很小的實數(shù)可以構成集合;

(2)集合與集合是同一個集合;

(3) 這些數(shù)組成的集合有5個元素;

(4)任何集合至少有兩個子集.

A.0個B.1個C.2個D.3個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）當時，記函數(shù)的所有單調遞增區(qū)間的長度為，所有單調遞減區(qū)間的長度為，證明：．（注：區(qū)間長度指該區(qū)間在軸上所占位置的長度，與區(qū)間的開閉無關．）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】等差數(shù)列的定義可用數(shù)學符號語言描述為________,其中，其通項公式_________,__________=_________,等差數(shù)列中，若則________()

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域為，對于任意的，都有且當時，，若.

(1)求證：為奇函數(shù)；

(2)求證: 是上的減函數(shù)；

(3)求函數(shù)在區(qū)間[-2,4]上的值域.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在某項體能測試中，規(guī)定每名運動員必需參加且最多兩次，一旦第一次測試通過則不再參加第二次測試，否則將參加第二次測試.已知甲每次通過的概率為，乙每次通過的概率為，且甲乙每次是否通過相互獨立.

(Ⅰ)求甲乙至少有一人通過體能測試的概率；

(Ⅱ)記為甲乙兩人參加體能測試的次數(shù)和，求的分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】是偶函數(shù)，

(1) 求的值；

(2)當時，設，若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.

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