Question

過圓x²+y²=4內(nèi)一點(diǎn)P（1，1）作兩條相互垂直的弦AC，BD，當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形ABCD的面積為

6

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，連接OP，OA，過O作OE⊥AC，OF⊥BD，利用垂徑定理得到E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，由AC=BD得到弦心距OE=OF，可得出四邊形PEOF為正方形，由P與O的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|OP|的長(zhǎng)，即為正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，求出正方形的邊長(zhǎng)OE，由圓的方程找出半徑r，得到OA的長(zhǎng)，在直角三角形AOE中，由OA與OE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AC與BD的長(zhǎng)，再利用對(duì)角線互相垂直的四邊形面積等于兩對(duì)角線乘積的一半，即可求出四邊形ABCD的面積．

解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，連接OP，OA，過O作OE⊥AC，OF⊥BD，
∴E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，
又AC⊥BD，AC=BD，
∴四邊形EPOF為正方形，
由圓的方程得到圓心O（0，0），半徑r=2，
又P（1，1），∴|OP|=

12+12

=

2

，
∴OE=

2

×

2

2

=1，又OA=r=2，
∴根據(jù)勾股定理得：AE=

OA2-OE2

=

3

，
∴AC=BD=2AE=2

3

，
則S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC•BD=6．
故答案為：6

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及對(duì)角線互相垂直的四邊形面積求法，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常由垂徑定理根據(jù)垂直得中點(diǎn)，然后由弦心距，弦長(zhǎng)的一半及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．