Question

12．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，有一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)為“長(zhǎng)度”（單位：cm），該質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N（170，16）．該公司已生產(chǎn)10萬件，為檢驗(yàn)這批產(chǎn)品的質(zhì)量，先從中隨機(jī)抽取50件，測(cè)量發(fā)現(xiàn)全部介于157cm和187cm之間，得到如下頻數(shù)分布表：

分組	[157，162）	[162，167）	[167，172）	[172，177）	[177，182）	[182，187）
頻數(shù)	5	10	15	10	5	5

（Ⅰ）估計(jì)該公司已生產(chǎn)10萬件中在[182，187]的件數(shù)；
（Ⅱ）從檢測(cè)的產(chǎn)品在[177，187]中任意取2件，這2件產(chǎn)品在所有已生產(chǎn)的10萬件產(chǎn)品長(zhǎng)度排列中（從長(zhǎng)到短），排列在前130的件數(shù)記為X．求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用分層抽樣性質(zhì)能求出該公司已生產(chǎn)10萬件中在[182，187]的件數(shù)．
（Ⅱ）先求出P（170-3×4＜X≤170+3×4）=0.9974，從而P（X≥182）=0.0013，進(jìn)而推導(dǎo)出隨機(jī)變量X可取0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由題意$\frac{5}{50}×100000=10000$．
∴該公司已生產(chǎn)10萬件中在[182，187]的有1萬件．
（Ⅱ）∵P（170-3×4＜X≤170+3×4）=0.9974，
∴P（X≥182）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.0013，
而0.0013×10000=130．
所以，已生產(chǎn)的前130件的產(chǎn)品長(zhǎng)度在182cm以上，
這50件中182cm以上的有5件．隨機(jī)變量X可取0，1，2，
于是P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{10}{45}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{25}{45}$=$\frac{5}{9}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$．
∴X的分布列：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$

∴EX=$0×\frac{2}{9}+1×\frac{5}{9}+2×\frac{2}{9}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分層抽樣的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)和正態(tài)分布的合理運(yùn)用．

分組	[157，162）	[162，167）	[167，172）	[172，177）	[177，182）	[182，187）
頻數(shù)	5	10	15	10	5	5