Question

已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為

2

2

，兩焦點(diǎn)與上下頂點(diǎn)形成的菱形面積為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)F₂的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，四邊形F₁ACB為平行四邊形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OC|=

53

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：a=

2

c，并且bc=1，所以a=

2

，b=1，進(jìn)而求出橢圓的方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，求出點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，結(jié)合題意可得所以C（3，0），所以|OC|=3≠

53

3

，進(jìn)而得到直線l的斜率存在；設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），代入橢圓方程：
（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，x1+x2=

4k2

1+2k2

，由題意得C（x₁+x₂+1，y₁+y₂）．因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">|OC|=

53

3

所以(x1+x2+1)2+(y1+y2)2=

53

9

，所以結(jié)合韋達(dá)定理可求出k²=1，即k=±1，進(jìn)而得到直線方程．

解答：解：（1）因?yàn)殡x心率為

2

2

，
所以a=

2

c．
又因?yàn)閮山裹c(diǎn)與上下頂點(diǎn)形成的菱形面積為2，
所以bc=1．
因?yàn)閍²=b²+c²，
所以a=

2

，b=1．
所以橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即直線l的方程為：x=1，
所以A（1，

2

2

），B（1，-

2

2

）．
因?yàn)樗倪呅蜦₁ACB為平行四邊形，
所以C（3，0），所以|OC|=3≠

53

3

，
所以直線l的斜率不存在不符合題意，即直線l的斜率存在；
設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），代入橢圓方程：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
由題意可得：△＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2

1+2k2

，
因?yàn)樗倪呅蜦₁ACB為平行四邊形，
所以C（x₁+x₂+1，y₁+y₂）．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">|OC|=

53

3

所以(x1+x2+1)2+(y1+y2)2=

53

9

，
所以結(jié)合韋達(dá)定理可求出k²=1，即k=±1，
所以所求直線的方程為：y=±（x-1）．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓有關(guān)數(shù)值之間的關(guān)系，以及橢圓與直線的位置關(guān)系并且結(jié)合韋達(dá)定理解決問題．