Question

（12分）如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，AB=AC=2，以PA為直徑的球O和PB、PC分別交于B₁、C₁
（1）求證B₁C₁∥平面ABC
（2）若二面角C—PB—A的大小為arctan2,試求球O的表面積。

Answer 1

（12分）

(1)連接AC₁、AB₁
∵PA⊥底面ABC
∴PA⊥AB、PA⊥AC
又∵AB=AC，易得△APC≌△APB
∴BP=CP
∠APB₁=∠APC₁
∵AP為球O的直徑，∴AC₁⊥PC₁
AB₁⊥PB₁  ∴cos∠APB₁==cos∠APC₁=
∴PB₁=PC₁……………………（3分）
∴ ∴B₁C₁∥BC
又∵B₁C₁平面ABC，BC平面ABC
∴B₁C₁∥平面ABC  …………………………（6分）
（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD⊥平面ABP，過(guò)D作DE⊥PB于E，連CE，由三垂線定理知CE⊥PB
∴∠CED是二面角C—PB—A的平面角，即∠CED=arctan
∴tan∠CED=
∴DE=
sin∠PBA=
∴∠PBA=30°…………（9分）
∴AP=ABtan∠PBA=
∴球O的半徑R=1………………（11分）
∴球O的表面積為…………（12分）