Question

過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線，將圓形區(qū)域{（x，y）|x²+y²≤4}分兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為（ ）
A．x+y-2=0
B．y-1=0
C．x-y=0
D．x+3y-4=0

Answer 1

【答案】分析：由扇形的面積公式可知，劣弧所的扇形的面積=2α，則S₂=4π-2α（∠AOB=α）要求面積差的最大值，即求α的最小值，根據(jù)直線與圓相交的性質(zhì)可知，只要當(dāng)OP⊥AB時(shí)，α最小，可求
解答：解：設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線與圓分別交于點(diǎn)A，B，且圓被AB所分的兩部分的面積分別為S₁，S₂且S₁≤S₂
劣弧所對(duì)的圓心角∠AOB=α，則=2α，S₂=4π-2α（0＜α≤π）
∴S_△AOB+S₂-（S₁-S_△AOB）=4π-4α+
要求面積差的最大值，即求α的最小值，根據(jù)直線與圓相交的性質(zhì)可知，只要當(dāng)OP⊥AB時(shí)，α最小
此時(shí)K_AB=-1，直線AB的方程為y-1=-（x-1）即x+y-2=0
故選A
解：要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過(guò)點(diǎn)P的圓的弦長(zhǎng)達(dá)到最小，所以需該直線與直線OP垂直即可．
又已知點(diǎn)P（1，1），則K_OP=1，
故所求直線的斜率為-1．又所求直線過(guò)點(diǎn)P（1，1），
由點(diǎn)斜式得，所求直線的方程為y-1=-（x-1），即．x+y-2=0
故選A




點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓相交性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)扇形的面積公式把所要求解的兩面積表示出來(lái)