函數(shù)f(x)滿足:(1)定義域是(0,+∞);(2)當(dāng)x>1時,f(x)<2;(3)對任意x,y∈(0,+∞),總有f(xy)=f(x)+f(y)-2.則
(1)求出f(1)的值;
(2)寫出一個滿足上述條件的具體函數(shù);
(3)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用定義加以證明.
分析:(1)要求f(1),結(jié)合已知由題意對任意x,y∈(0,+∞),總有f(xy)=f(x)+f(y)-2可考慮賦值,令x=y=1,可求f(1)
(2)由任意x,y∈(0,+∞),總有f(xy)=f(x)+f(y)-2,類似對數(shù)的運算性質(zhì),聯(lián)想對數(shù)函數(shù)
(3)要證函數(shù)的單調(diào)性,需設(shè)0<x1<x2,則
x2
x1
>1
,由已知x>1時,f(x)<2可得,f(
x2
x1
)<2
,故構(gòu)造f(x2)=f(
x2
x1
x1)
=f(
x2
x1
)+f(x1)-2
<2+f(x1)-2=f(x1),從而可證
解答:解:(1)由題意對任意x,y∈(0,+∞),總有f(xy)=f(x)+f(y)-2.
令x=y=1,可得f(1)=2f(1)-2∴f(1)=2
(2)f(x)=log
1
2
x+2

(3)設(shè)0<x1<x2,則
x2
x1
>1

由已知x>1時,f(x)<2可得,f(
x2
x1
)<2

f(x2)=f(
x2
x1
x1)
=f(
x2
x1
)+f(x1)-2
<2+f(x1)-2=f(x1
即f(x2)<f(x1
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減
點評:本題以抽象函數(shù)為載體,考查利用賦值求解函數(shù)值的問題,而函數(shù)的單調(diào)性的證明的最基本的方法是利用函數(shù)單調(diào)性的定義,解決此問題的關(guān)鍵是要根據(jù)題目中的條件進(jìn)行合理的構(gòu)造,以達(dá)到比較f(x1),f(x2)的大小的目的
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•安徽模擬)給出以下命題:
①函數(shù)f(x)=|log2x2|既無最大值也無最小值;
②函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|的圖象關(guān)于直線x=1對稱;
③若函數(shù)f(x)的定義域為(0,1),則函數(shù)f(x2)的定義域為(-1,1);
④若函數(shù)f(x)滿足|f(-x)|=|f(x)|,則函數(shù)f(x)或是奇函數(shù)或是偶函數(shù);
⑤設(shè)f(x)與g(x)是定義在R上的兩個函數(shù),若對任意x1,x2∈R(x1≠x2)有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|恒成立,且函數(shù)f(x)在R上遞增,則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在R上遞增.
其中正確的命題是
②④⑤
②④⑤
(寫出所有真命題的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知x≠0,函數(shù)f(x)滿足f(x-
1
x
)=x2+
1
x2
,則f(x)的表達(dá)式為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)+1,且x∈[0,1]時,f(x)=4x,x∈(1,2)時,f(x)=
f(1)x
,則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為
5
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

?x∈R,函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x+2)=-f(x),當(dāng)x∈
0,1
f(x)=cos
π
2
x
,那么在x∈
-1,4
上方程f(x)=0的所有根的和是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•贛州模擬)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),若a+b+c=0,導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(0)f′(1)>0,設(shè)f'(x)=0的兩根為x1,x2,則|x1-x2|的取值范圍是( 。

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