Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx+2x．
（1）用定義證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）設g（x）=ln$\frac{x+2}{x-2}$，若對任意x₁∈（0，1），x₂∈（k，k+1）（k∈N），使f（x₁）＜g（x₂），求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求實數(shù)k的最大值．

解答 解：（1）因為函數(shù)的定義域為（0，+∞），
設x₁＞x₂＞0…（2分）
則f（x₁）-f（x₂）=lnx₁-lnx₂+2（x₁-x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)      …（4分）
（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)
∴f（x₁）＜f（1）=2…（6分）
令g（x₂）≥2即ln $\frac{{x}_{2}+2}{{x}_{2}-2}$≥2即x₂+2≥e²（x₂-2）
得x₂≤$\frac{{2e}^{2}+2}{{e}^{2}-1}$=2+$\frac{4}{{e}^{2}-1}$，
∵2+$\frac{4}{{e}^{2}-1}$∈（2，3）…（8分）
∴k_max=2…（10分）

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用定義法是判斷函數(shù)單調(diào)性中比較常用的方法．