已知函數(shù)f(x)=
x-a(x-a)2+4
,
(1)討論f(x)的奇偶性,并證明你的結論;
(2)當f(x)是奇函數(shù)時,求f(x)在[-c,c](c>0,c是常數(shù))上的值域.
分析:(1)分類討論,利用函數(shù)奇偶性的定義,可得結論;
(2)求導函數(shù),確定函數(shù)的單調性,分類討論,可得函數(shù)的值域.
解答:解:(1)當a=0時,f(x)=
x
x2+4
,∴f(-x)=
-x
(-x)2+4
=
-x
x2+4
=-f(x)
,故f(x)為奇函數(shù).(2分).
當a≠0時,f(a)=0,f(-a)=
-a
2a2+2
≠0
,∴f(-a)≠f(a),且f(-a)≠-f(a),
故f(x)為非奇非偶函數(shù).(4分).
(2)當a=0時,f(x)=
x
x2+4
為奇函數(shù),f′(x)=
4-x2
(x2+4)2
=
(2-x)(2+x)
(x2+4)2
,令f'(x)=0,得x=±2.
當x變化時f'(x)與f(x)的變化情況如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 遞減 極小值 遞增 極大值 遞減
又當x<0時,f(x)<0;當x>0時,f(x)<0.
故f(x)(x∈R)的最大值為f(2)=
1
4
;f(x)(x∈R)的最小值為f(-2)=-
1
4
.(8分).
由上可知當x∈[-c,c](c>0)時,
(1)若0<c≤2,則f(x)在[-c,c](c>0)上單調遞增,所以f(x)的值域為[-
c
c2+4
,
c
c2+4
](c>0)
(10分).
(2)若c>2,則f(x)在[-c,-2]上單調遞減,在[-2,2]上單調遞增,在[2,c]上單調遞減,所以f(x)的值域為[-
1
4
,
1
4
]
.(12分)
點評:本題考查函數(shù)的奇偶性,考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的值域,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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