Question

1．求y=$\frac{x-2}{（x-1）^{2}}$（x＞2）的最大值．

Answer 1

分析 將x-2化為x-1-1，拆開配方可得y=-（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，令t=$\frac{1}{x-1}$，0＜t＜1，由二次函數(shù)的最值求法，可得所求最大值．

解答 解：y=$\frac{x-2}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-1-1}{（x-1）^{2}}$
=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$
=-（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
令t=$\frac{1}{x-1}$，
由x＞2，可得0＜t＜1，
即有y=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，即x=3∈（2，+∞）時(shí)，
函數(shù)y取得最大值，且為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用配方和換元思想，運(yùn)用二次韓寒說的最值求法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．