某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共3道試題,20名參賽學(xué)生的情況如下:

(1)他們每人都至少解出1題;

(2)在沒(méi)有解出第1題的那些學(xué)生中,解出第2題的是解出第3題的人數(shù)的2倍;

(3)只解出第1題的比余下的學(xué)生中解出第1題的多1人;

(4)只解出1道題的學(xué)生中,有一半沒(méi)有解出第1題.

試問(wèn)有多少學(xué)生只解出第2題?

解析:設(shè)解出第1,2,3各題的學(xué)生集合分別為A,B,C(如圖),重疊部分表示同時(shí)解出2道題或3道題的學(xué)生集合,七個(gè)部分的人數(shù)分別用a,b,c,d,e,f,g表示,則

由(1)得a+b+c+d+e+f+g=20.        ①

由(2)得b+f=2(c+f).                        ②

由(3)得a=d+e+g+1.                      ③

由(4)得a=b+c.                               ④

由②式得f=b-2c.                                 ⑤

把⑤式代入①式,得a+2b-c+d+e+g=20.        ⑥

把③式代入⑥式,得2b-c+2d+2e+2g=19.      ⑦

把④式代入⑥式,得3b+d+e+g=20.               ⑧

由⑧×2-⑦,得4b+c=21.                                ⑨

∵c≥0,

∴4b≤21,b≤5.

利用⑤⑨消去c,得f=b-2(21-4b)=9b-42.

由f≥0,得9b≥42,即b≥4,于是有4≤b≤5.

由于b∈Z,

∴b=5,即只解出第2題的學(xué)生有5人.


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